행렬(Matrix) 기본 개념과 표기법 - 행렬, 행과 열, 정방 행렬, 행렬 표기, 벡터, 벡터장의 개념, 벡터와 행렬의 관계

 

 

# 행렬(Marix)란

행렬이란 숫자들이 직사각형 형태로 배열된 데이터 집합을 의미한다.
쉽게 말해, 여러 개의 숫자를 표처럼 정리한 것이라고 생각하면 된다.

 

 

예를 들어, 아래와 같은 숫자들의 집합을 '행렬'이라고 한다.

 

이 행렬은 가로 방향으로 3개의 행(rows), 세로 방향으로 4개의 열(columns)을 가지고 있다.
즉, 행렬의 크기는 "3 × 4"(3행 4열)라고 표현한다.

 

 

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# 행과 열의 개념

행렬을 이해할 때 가장 중요한 개념은 '행(row)'과 '열(column)'이다.

• 행(Row): 숫자들이 가로로 나열된 것
• 열(Column):  숫자들이 세로로 나열된 것

 

위 행렬을 다시 살펴보면,

• 1번째 행은 [2, 4, 7, -2]
• 2번째 행은 [0, 1, -3, 3]
• 3번째 행은 [5, -1, 7, 1]
• 1번째 열은 [2, 0, 5]
• 2번째 열은 [4, 1, -1]
• 3번째 열은 [7, -3, 7]
• 4번째 열은 [-2, 3, 1]

이처럼 행은 가로 방향, 열은 세로 방향으로 구성된다.

 

 

 

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# 정방 행렬(Square Matrix)이란

정방 행렬이란 행과 열의 개수가 같은 행렬을 의미한다. 

즉, n×n 형태로 이루어진 행렬이다.

 

 

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 3 × 3 정방 행렬이다.

 

이 행렬은 3개의 행과 3개의 열을 가지고 있으므로 3 × 3 정방 행렬이라고 부른다.
정방 행렬은 여러 가지 수학적 연산에서 중요한 역할을 한다.

 

 

 

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# 행렬을 표기하는 방법

행렬은 수학적으로 다양한 방식으로 표기할 수 있다.

 

1)  대괄호 [ ] 또는 소 괄호 ( ) 사용

행렬을 나타낼 때는 대괄호 [ ] 또는 소 괄호 ( )를 사용한다.

 

예를 들어, 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

여기서 'A'는 행렬의 이름이며, A행렬이라고 부를 수 있다.

 

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2)  행렬의 원소(요소) 표기

행렬 안에 포함된 숫자 하나하나를 '행렬의 요소(Elements)' 라고 한다.

각 요소의 위치를 나타낼 때는 '아래 첨자(Subscript)' 를 사용한다.

 

이처럼 행 번호가 먼저, 열 번호가 나중에 표기된다.

 

 

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# 일반적인 행렬 표기법

수학에서는 행렬을 표현할 때 로마 대문자를 사용한다.

예를 들어, A, B, C 등의 기호를 행렬의 이름으로 사용한다.

 

또한, 행렬의 크기는 다음과 같이 나타낸다.

 

이는 B행렬의 크기가 n × p (n행 p열)임을 의미한다.

 

 

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# 벡터(Vector)란

벡터(Vector)란 크기(길이)와 방향을 동시에 가지는 값을 의미한다.
쉽게 말해, 어떤 방향으로 얼마나 이동하는지를 나타내는 수학적인 개념이다.

 

 

예를 들어, 바람의 세기와 방향을 표현할 때 벡터를 사용할 수 있다.

• 바람이 서쪽에서 동쪽으로 시속 13km/h로 분다면
  • 크기: 13km/h
  • 방향: 동쪽

이미지 출처: thlee33.medium.com

 

이처럼 벡터는 단순한 숫자가 아니라 방향성과 크기를 동시에 나타내는 수학적 도구이다.

 

 

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# 백터의 표현

벡터는 화살표(→)로 표현할 수 있다.

 

아래 그림처럼 여러 개의 화살표가 각기 다른 크기와 방향을 가지면, 이들은 각각 하나의 벡터를 나타낸다.

또한, 벡터는 좌표를 이용하여 숫자로 표현할 수도 있다.

 

 

예를 들어, 아래와 같은 벡터가 있다고 하자.

• a = (-3, 4) → 동쪽으로 -3, 북쪽으로 4만큼 이동
• b = (4, 3) → 동쪽으로 4, 북쪽으로 3만큼 이동
• c = (6, -5) → 동쪽으로 6, 남쪽으로 5만큼 이동

벡터의 표현 예시

 

이처럼 벡터는 (x, y) 형태의 좌표값으로 나타낼 수 있다.

 

 

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# 벡터의 수학적 표현

벡터는 행렬(Matrix)의 특별한 형태로 볼 수 있다.

특히, 열이 하나뿐인 행렬(세로로 나열된 수의 집합)을 벡터라고 한다.

 

예를 들어, 벡터 'a = (-3, 4)'는 다음과 같이 2×1 행렬로 표현할 수 있다.

 

이처럼 벡터는 2차원 공간에서 위치를 나타내는 수학적 개념으로도 활용된다.

 

 

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# 벡터장(vector field)이란

벡터장(vector field)이란 공간에서 각 지점마다 벡터가 존재하는 것을 의미한다.

쉽게 말해, 공간상의 각 점에서 벡터가 어떻게 배치되어 있는지를 보여주는 지도라고 이해할 수 있다.

 

예를 들어, 아래와 같은 벡터장이 있다고 하자.

 

이러한 벡터장을 이용하면

• 바람이 부는 방향과 세기를 표현할 수 있고,
• 인구 이동 경로를 시각화하는 데에도 활용할 수 있다.

 

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# 벡터와 행렬의 관계

행렬(matrix)은 여러 개의 숫자가 행(row)과 열(column)로 배열된 직사각형 모양의 데이터이다.

벡터도 행렬의 한 종류이며, 특히 열이 하나뿐인 행렬을 벡터라고 부를 수 있다.

 

1) 벡터를 행렬로 표현하기

한 점의 위치를 벡터로 나타낼 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

이 벡터는 점 (x, y)의 위치 정보를 담고 있다.

 

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2) 벡터와 고차원 공간

벡터는 반드시 2차원에서만 사용되는 것이 아니다.
3차원, 4차원 이상의 고차원 공간에서도 벡터는 활용된다.

 

예를 들어, 3차원 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

이 벡터는 (x, y, z) 좌표로 나타낸 3차원 공간의 한 점을 의미한다.
더 나아가서, n차원 공간에서도 벡터는 n × 1 행렬의 형태로 표현할 수 있다.

 

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# 정리 : 벡터(Vector)의 핵심 개념

이번 포스팅에서 다룬 벡터에 대해 정리해보자.

 

• 벡터(Vector)
  • 크기와 방향을 동시에 가지는 수학적 개념
  • 예시: 바람의 방향과 세기, 강의 흐름, 힘의 방향 등
• 벡터의 표현
  • 화살표(→)로  나타낼 수 있음
  • 좌표(숫자)로도 표현 가능
• 벡터의 수학적 표현
  • 행렬(Matrix)의 특별한 형태
  • 2×1 행렬(열이 하나뿐인 행렬)로 표현
• 벡터장(Vector Field)
  • 공간의 각 점마다 벡터가 배치된 지도
  • 예시: 바람의 흐름, 전기장과 자기장, 인구 이동 경로 등
• 벡터와 행렬의 관계
  • 벡터는 행렬의 특별한 형태
  • 보통 열이 하나뿐인 행렬(2×1, 3×1, … n×1)로 표현됨

 

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# 참고 자료

이번 포스팅에서는 아래 사이트를 참고하여 정리하였습니다.

저작권이나 기타 문제가 있을 경우 알려주시면, 즉시 검토하고 수정하겠습니다.

 

https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000000977844

지리 정보 분석 원리 | 데이비드 오설리번 - 교보문고

 

https://thlee33.medium.com/matplotlib%EC%9D%98-quiver%EB%A5%BC-%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C-%EB%B0%94%EB%9E%8C-vector-%EC%8B%9C%EA%B0%81%ED%99%94-64f9134476f7

Matplotlib의 Quiver를 이용한 바람 Vector 시각화

 

 

https://wikidocs.net/214400

1.1 벡터의 정의와 표현

 

https://www.vw-lab.com/95

OD 시각화 3 : 서울 생활이동 데이터를 지도 위에 옮겨보자